无理数相对于有理数(即我们从幼儿园到小学接触到的十进制整数、小数、分数)而言，它没有“道理”，即不符合有理数的属性，不能写成两个整数之比，其数学本质只能为无限不循环小数。它是在有理数运算法则高度发展后，使数学大厦发生质变时必然产生的。常见的无理数有开方开不尽的数(如√2、√3)、超越数π和e等。然而，要想彻底弄清楚无理数的内涵和外延，必须从数学的本质及主要发展过程说起。

圆周率π

数学不仅研究现实的物质世界的空间形式和数量关系，还应研究精神世界的空间形式和数量关系，如关于人或动物的情绪、情感、意识等精神现象的数学模型。举两个简单的例子，如：我感到无限快乐！描述“无限快乐程度”的数学工具只能是无限小数，如果其快乐程度还会持续加深，反映该变化过程时，只能用高等数学里的无穷大(无穷大量)。又如，这个人几乎没有缺点！描述这类接近完美的人的性格的数字特征的工具只能是大于0小于“一个比1小得多的数”的一个无限小数，如果其性格仍在持续改善，该变化过程只能用高等数学里的无穷小(无穷小量)去描述。所以，数学科学只能是关于物质和精神世界的相对精确的数形哲学(如:在自然数范围内，1加1只能等于2，该运算法则即为一种数字运算哲学；又如，在欧氏几何里，三角形的内角和只能等于180度，该定理即为一种关于几何图形形状的度量哲学)！这也能解释为什么世界著名火箭专家、我国航天之父钱学森提出了“把数学从自然科学的桎梏中解放出来，改称数学科学，使之与传统的自然科学和社会科学并驾齐驱”的一大构想。

值得庆幸的是，早在数学发展到无限循环小数(循环节不为0)时，数学家们就已经不知不觉地开始涉足精神世界了，只是没有意识到精神现象在数学领域的重要性而没有建立相应理论而已！因为:就算拿最简单的无限循环小数0.333333……(3循环)，即1/3来说，它的数形哲学(或数学科学)意义是表示将一个被选取对象分成三个均匀而相等的子对象，取其中一个子对象，即小学数学上常说的“把单位‘1’平均分成3份，表示这样的1份的数”。然而，在现实世界里，根本不存在这样的一个子对象！打个很简单的比方，这好比我准备把1元钱平均分给3个小孩，显然，根本就办不到！在现实中，往往是其中的两人都得到3角3分，而另一个只能得到3角4分！可见，无限循环小数只能在我们的头脑中生成，在现实中根本不存在！但哲学家黑格尔说了一句流传至今的名言:“凡是合乎理性的东西都是现实的，凡是现实的东西都是合乎理性的。”因此，无限循环小数(本质上是一种分数)也有它存在的价值，它至少在近似地描述现实世界的数量关系时，会带来极大的方便，且精度可任意调整，直到较满意为止。比如，在该比方中，为了确保分配更均匀些，我可以让其中的俩小孩都得到3角3分3厘钱，与另一个小孩得到的3角3分4厘钱相比，相差就较小了。这个比方还能说明:在现实中，总存在绝对不公平的事！对于这类事情，只能是相对公平！即与预期相比，偏差不大。且它还有一大优点:书写和计算方便。比如:该例中的1/3 ，就比写成0.333333……或0.33、0.333等小数省事多了，且计算也方便了许多，也提高了运算效率。

在这之后，人们在关于自然数的开方运算中发现:有无数个无限不循环小数陆续出现，数学又发展到了无理数阶段。比如在研究圆周率π的过程中，人们通过计算，发现圆的周长与直径的比值是一个固定值，且是无限不循环小数，又如，对于最简单的开方开不尽的数√2，人们也是在求解诸如x^2=2的方程的过程中，发现了这个解也是一个无限不循环小数。然而，人们在研究无理数的过程中，通过把适用于有限数(整数，有限小数)的运算法则(加减乘除、乘方，开方等)硬套在一切实数的范围内，因而出现了后来的不断变化下去的无限循环和不循环小数！无形中混淆了朝着给定的任意大的正数或0无限趋近的变量与现实世界的物体的具体的、有限的各种常量的概念！即一个具体的常数怎么可能是变化过程或变化趋势呢？？？所有的数字只能是有限的数！所以，无理数只能在我们的头脑中生成，它和无限循环小数一样，在现实中根本不存在！这也能解释为什么古希腊数学家毕达哥拉斯坚决不承认无理数的存在！也能解释为什么德国著名物理学家普朗克较精确地算出了长度量子(最小的长度值)，即普朗克长度，约为1.6×10^-35米，这远远小于原子核的尺寸，他还认为测量比这个长度值更小的数值是没有任何意义的！(详见我在回答问题“物质是无限可分的吗？”时已给出了详细而通俗的证明过程，有兴趣的朋友可去看看)这说明我们的空间存在最小尺度，并不是无限变化下去的无限小数！还能解释为什么在现代科学研究中，使用的无理数π的近似值时，在最精确计算的时候仅需用到小数点后面的十几位！当然，如同前面所说的，这一系列用部分规律取代整体规律后生成的异类数(也可定义为精神数)，也有它存在的合理性，它们至少在近似地描述现实世界的数量关系时，会带来极大的方便，且精度可任意调整，直到较满意为止。所以在以这两个典型的例子中，在现实世界里，仅需取π或√2的近似值。至于应用到这些精神数的物质世界里的真实数值是多少，有待于测量技术的进一步发展。

同理，复数(形如Z=a+bi， a,b均为实数，ⅰ^2=-1的数)里的虚数单位ⅰ在现实世界中也不存在，且当其虚部b≠0时，它一定是精神数！但将ⅰ与复数平面里的虚轴对应后，则表示该轴上的一个单位长度，其中，每一个复数都和该平面里的一个点(a，b)对应，且对应一个起点为原点，终点坐标为(a，b)的向量，即可以表示成坐标平面里向量，所以它遵循向量的一些运算法则(如向量的加减法、数乘向量)，它在物理学(如电磁学)等自然科学和其它工程技术上也有着广泛的应用。

复数的向量表示

值得注意的是，根据狭义相对论的光速不变原理可知，光速在真空中对于不同的惯性系都是相同的，所以，对于我们司空见惯的时间，可以用处于某一真空惯性系的光的传播距离来重新定义！根据作匀速直线运动的物体的位移时间公式s=vt(s表示物体的位移矢量，v表示物体的速度矢量)可知，在该环境里的任意一束光的传播时间t=s/c(s在这里表示光的传播位移的大小，即传播距离，c表示光在该真空环境中的速度，即c=299792458米/秒)，这个简单的公式却蕴藏着极为深刻的哲理，即:我们习以为常的时间，其本质上就是这类环境下的任何光所传播的距离！因为当该光线每走完一段大小等于c的距离时，其对应的时间就是每1秒！因此，可以说，时间的本质就是在这类真空环境下的光(或构成光的每个光子)走过的路程！即时间的本质就是空间！当然，由于光速大小是一堆大数字，用c乘以某个常数来以表示具体的时间长短会给我们的生活、学习或科研计算造成诸多不便，因而，现有的时间定义仅仅是为了简化数目，图个方便，它仍有其存在的意义。因此，更严格地说，数学科学研究的广义空间里还应包括时间！

相对论的创立者爱因斯坦

总之，数学科学作为一门相当庞大的学科，数学家们的任务不比物理学、化学、生物学等自然科学家轻松，甚至更艰巨，除了要去解决一系列悬而未决的数学难题(歌德巴赫猜想、黎曼猜想、杨-米尔斯存在性和质量缺口等)外，还得向精神世界进军，建立一整套精神数学理论体系，从而，为全人类的幸福生活奠定最坚实的精神基础！

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无理数是什么数 扩展

无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数。 如圆周率、2的平方根等。·无理数与有理数的区别：1、把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数， 比如4=4.0, 4/5=0.8, 1/3=0.33333……而无理数只能写成无限不循环小数, 比如√2=1.414213562…………根据这一点,人们把无理数定义为无限不循环小数.2、所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能。根据这一点，有人建议给无理数摘掉“无理”的帽子，把有理数改叫为“比数”，把无理数改叫为“非比数”。本来嘛，无理数并不是不讲道理，只是人们最初对它不太了解罢了。 利用有理数和无理数的主要区别，可以证明√2是无理数。证明：假设√2不是无理数，而是有理数。既然√2是有理数，它必然可以写成两个整数之比的形式： √2=p/q又由于p和q有公因数可以约去，所以可以认为p/q 为既约分数。把 √2=p/q 两边平方得 2=(p^2)/(q^2)即 2(q^2)=p^2由于2q^2是偶数，p 必定为偶数，设p=2m由 2(q^2)=4(m^2)得 q^2=2m^2同理q必然也为偶数，设q=2n既然p和q都是偶数，他们必定有公因数2，这与前面假设p/q是既约分数矛盾。这个矛盾是有假设√2是有理数引起的。因此√2是无理数。毕达哥拉斯大约生于公元前580年至公元前500年，从小就很聪明，一次他背着柴禾从街上走过，一位长者见他捆柴的方法与别人不同，便说：“这孩子有数学奇才，将来会成为一个大学者。”他闻听此言，便摔掉柴禾南渡地中海到泰勒斯门下去求学。毕达哥拉斯本来就极聪明，经泰勒一指点，许多数学难题在他的手下便迎刃而解。其中，他证明了三角形的内角和等于180度；能算出你若要用瓷砖铺地，则只有用正三角、正四角、正六角三种正多角砖才能刚好将地铺满，还证明了世界上只有五种正多面体，即：正4、6、8、12、20面体。他还发现了奇数、偶数、三角数、四角数、完全数、友数，直到毕达哥拉斯数。然而他最伟大的成就是发现了后来以他的名字命名的毕达哥拉斯定理（勾股弦定理），即：直角三角形两直角边为边长的正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。据说，这是当时毕达哥拉斯在寺庙里见工匠们用方砖铺地，经常要计算面积，于是便发明了此法。毕达哥拉斯将数学知识运用得纯熟之后，觉得不能只满足于用来算题解题，于是他试着从数学领域扩大到哲学，用数的观点去解释一下世界。经过一番刻苦实践，他提出“凡物皆数”的观点，数的元素就是万物的元素，世界是由数组成的，世界上的一切没有不可以用数来表示的，数本身就是世界的秩序。毕达哥拉斯还在自己的周围建立了一个青年兄弟会。在他死后大约500年间，他的门徒们把这种理论加以研究发展，形成了一个强大的毕达哥拉斯学派。一天，学派的成员们刚开完一个学术讨论会，正坐着游船出来领略山水风光，以驱散一天的疲劳。这天，风和日丽，海风轻轻的吹，荡起层层波浪，大家心里很高兴。一个满脸胡子的学者看着辽阔的海面兴奋地说：“毕达哥拉斯先生的理论一点都不错。你们看这海浪一层一层，波峰浪谷，就好像奇数、偶数相间一样。世界就是数字的秩序。”“是的，是的。”这时一个正在摇桨的大个子插进来说：“就说这小船和大海吧。用小船去量海水，肯定能得出一个精确的数字。一切事物之间都是可以用数字互相表示的。”“我看不一定。”这时船尾的一个学者突然提问了，他沉静地说：“要是量到最后，不是整数呢？”“那就是小数。”“要是小数既除不尽，又不能循环呢？”“不可能，世界上的一切东西，都可以相互用数字直接准确地表达出来。”这时，那个学者以一种不想再争辩的口气冷静地说：“并不是世界上一切事物都可以用我们现在知道的数来互相表示，就以毕达哥拉斯先生研究最多的直角三角形来说吧，假如是等腰直角三角形，你就无法用一个直角边准确地量出斜边来。”这个提问的学者叫希帕索斯，他在毕达哥拉斯学派中是一个聪明、好学、有独立思考能力的青年数学家。今天要不是因为争论，还不想发表自己这个新见解呢。那个摇桨的大个子一听这话就停下手来大叫着：“不可能，先生的理论置之四海皆准。”希帕索斯眨了眨聪明的大眼，伸出两手，用两个虎口比成一个等腰直角三角形说：“如果直边是3，斜边是几？”“4。”“再准确些？”“4.2。”“再准确些？”“4.24。”“再准确些呢？”大个子的脸涨得绯红，一时答不上来。希帕索斯说：“你就再往后数上10位、20位也不能算是最精确的。我演算了很多次，任何等腰直角三角形的一边与余边，都不能用一个精确的数字表示出来。”这话像一声晴天霹雳，全船立即响起一阵怒吼：“你敢违背毕达哥拉斯先生的理论，敢破坏我们学派的信条！敢不相信数字就是世界！”希帕索斯这时十分冷静，他说：“我这是个新的发现，就是毕达哥拉斯先生在世也会奖赏我的。你们可以随时去验证。”可是人们不听他的解释，愤怒地喊着：“叛逆！先生的不肖门徒。”“打死他！批死他！”大胡子冲上来，当胸给了他一拳。希帕索斯抗议着：“你们无视科学，你们竟这样无理！”“捍卫学派的信条永远有理。”这时大个子也冲了过来，猛地将他抱起：“我们给你一个最高的奖赏吧！”说着就把希帕索斯扔进了海里。蓝色的海水很快淹没了他的躯体，再也没有出来。这时，天空飘过几朵白云，海面掠过几只水鸟，一场风波过后，这地中海海滨又显得那样宁静了。一位很有才华的数学家就这样被奴隶专制制度的学阀们毁灭了。但是这倒真使人们看清了希帕索斯的思想价值。这次事件后，毕达哥拉斯学派的成员们确实发现不但等腰直角三角形的直角边无法去量准斜边，而且圆的直径也无法去量尽圆周，那个数字是3.14159265358979……更是永远也无法精确。慢慢地，他们感觉后悔了，后悔杀死希帕索斯的无理行动。他们渐渐明白了，明白了直觉并不是绝对可靠的，有的东西必须靠科学的证明；他们明白了，过去他们所认识的数字“0”，自然数等有理数之外，还有一些无限的不能循环的小数，这确实是一种新发现的数——应该叫它“无理数”。这个名字反映了数学的本来面貌，但也真实的记录了毕达哥拉斯学派中学阀的蛮横无理。由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪。1872年，德国数学家载德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机。